鉛直座標系

鉛直座標系を決定する際の重要なポイントは

1. なるべく鉛直内挿を行なわない
2. 地形を正しく取り込む
3. 質量保存、エネルギー保存則を満足する
4. より少ない鉛直レベル数でより正しく表現できればなおよい

ことである。もちろん全てを完全に満たすことは不可能である。 Kasahara(1974) [21] はプリミティブ方程式で用いられる様々な鉛直座標について レビューしている。

• z 座標系はシンプルであるが、 z 座標が使われたモデルというのは聞いたことがない。 (非静力モデルでは頻繁に用いられる)
• p 座標を用いると連続の式が p の診断方程式になり、 鉛直運動が簡単に求められる。 しかし、地形の境界条件を正確に取り込むことができない。
• $\sigma$ 座標は p 座標を変形して、地形を座標の下端となるように設定した ものである。地形は正しく取り込まれるが、 運動方程式中の気圧傾度力と重力をバランスさせることが難しい。
• そこで、下層は $\sigma$ 座標、上層は p 座標という $\eta$ 座標系が考えられた (Simmons and Burridge, 1981 [25]) 。これにより下層では地形をより正しく取り込み、 上層では地形の険しいところでも気圧傾度のエラーを少なくすることに成功した。

$\eta$ 座標を一般的に記述すると

$$\eta=\eta(p,p_s)$$

ここで

$$\eta(0,p_s)=0, \hspace{5mm} \eta(p_s,p_s)=1$$

直交直線座標系 $(x,y,z)$ におけるプリミティブ方程式は

1. 水平方向の運動方程式
   

   $$\frac{d\vec{u}}{dt} = -2\vec{\Omega} \times \vec{u} -\frac{1}{\rho}\vec{\nabla} p + \vec{F_u}$$ (1)

   
   

2. 鉛直方向の運動方程式(静力学平衡)
   

   $$0=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g$$ (2)

   
   

3. 連続の式、質量保存の式
   

   $$\frac{d\rho}{dt} = -\rho \vec{\nabla} \cdot \vec{u}$$ (3)

   
   

$\eta$ 座標系での方程式を導出する。$x,y,t$ は固定であって、 $z$ から $\eta$ への単調変換を考える。$u,v,w$ の定義は不変で直交している。 スカラー量 $A$ に対して

$$\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\eta= \left(\fr... ...A}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)_\eta$$

ここで

$$\frac{\partial A}{\partial z}=\left( \frac{\partial \eta}{\partial z}\right) \frac{\partial A}{\partial \eta}$$

なる関係を用いれば

$$\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\eta= \left(\fr... ... z}{\partial t}\right)_\eta \frac{\partial A}{\partial \eta}$$

$x,y$ に対しても同様に

$$\nabla_\eta A=\nabla_z A+\frac{\partial \eta}{\partial z} \nabla_\eta z \left(\frac{\partial A}{\partial \eta}\right)$$ (4)

となる。したがって $z$ 系方程式中の全微分は

$$\frac{d}{dt}=\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_\et... ...ac{\partial \eta}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \eta}$$ (5)

と書きかわる。$\eta$ 座標系での全微分をあらためて

$$\frac{d}{dt}\equiv\left(\frac{\partial}{\partial t}\right... ...+V_H\cdot\nabla_\eta+\dot{\eta}\frac{\partial}{\partial \eta}$$ (6)

と定義する、ここで

$$\dot{\eta}=\frac{d\eta}{dt}$$

である。上の式 (5) と (6) を見比べると

$$\dot{\eta}=\frac{\partial \eta}{\partial z}\left[ w-\lef... ...partial z}{\partial t}\right)_\eta-V\cdot\nabla_\eta z\right]$$ (7)

となる。 水平方向の運動方程式 (1) は(4)を用いることにより

$$\frac{d\vec{u}}{dt} = -2\vec{\Omega} \times \vec{u} -\f... ...t)\nabla_\eta z \frac{\partial p}{\partial \eta} + \vec{F_u}$$ (8)

ここで静力学平衡の式 (2) を用いると結局

$$\frac{d\vec{u}}{dt} = -2\vec{\Omega} \times \vec{u} -\frac{1}{\rho}\vec{\nabla}_\eta p - g \nabla_\eta z +\vec{F_u}$$

となる。 次に連続方程式 (3) の変換を考える。(7) より

$$w=\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)_\eta+V\cdot\nabla_\eta z +\dot{\eta}\frac{\partial z}{\partial \eta}$$

だから

$$\frac{\partial w}{\partial \eta}= \frac{d}{dt}\left(\frac{... ...\right) +\frac{\partial V}{\partial \eta}\cdot \nabla_\eta z$$

したがって

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial w}{\partial z} &=& \frac{\partial w}{\partial... ...nabla_\eta z\right] +\frac{\partial \dot{\eta}}{\partial \eta} \end{eqnarray*}$$

また (4) より

$$\nabla_z\cdot V=\nabla_\eta\cdot V-\left( \frac{\partial \... ... z}\right)\nabla_\eta z\dot \frac{\partial V}{\partial \eta}$$

であるから、上の2式を用いると連続方程式は

$$\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\frac{\partial z... ...\left(\rho\dot{\eta}\frac{\partial z}{\partial \eta}\right)=0$$

ここで静力学平衡の関係を $\eta$ 面で表現すると

$$\rho\frac{\partial z}{\partial \eta}=-\frac{1}{g} \frac{\partial p}{\partial \eta}$$

となるから結局連続方程式は

$$\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial p}{\part... ...\left(\dot{\eta} \frac{\partial p}{\partial \eta}\right) =0$$

となる。 連続方程式を鉛直に積分して、モデルの上端・下端で $\dot{\eta}=0$という 境界条件を用いることにより、

$$\frac{\partial p_s}{\partial t}=-\int_0^1\vec{\nabla}\cdot\left( \vec{v}\frac{\partial p}{\partial \eta} \right) d\eta$$

$$\dot{\eta}\frac{\partial p}{\partial \eta}= -\frac{\partia... ...\left( \vec{v} \frac{\partial p}{\partial \eta}\right) d\eta$$

と決まる。 静力学モデルで上昇流が「診断的に求められる」というのは、直接テンデンシーを 計算して求められるのではなく、他の値を先に決めといてそれに合うように 求めるからである。