正確度

どの程度適合性があるのかを示す度合 有限差分近似した際の誤差 $\epsilon$ が

$$\epsilon = O((\Delta x)^n)$$

となる時、このスキームを $\Delta x$ について $n$ 次のスキームという。 $\frac{du}{dx}$ の例。

• 1次の精度
  
  $$\frac{du}{dx} = \frac{u_{i+1}-u_i}{\Delta x}$$
  
  
  とする。右辺を Taylor 展開すると
  
  $$\frac{du}{dx} = \frac{u_i+\frac{du}{dx}\Delta x +\frac{1}{2}\frac{d^2u}{dx^2}(\Delta x)^2 + \cdots}{\Delta x}$$
  
  
  よって
  
  $$\epsilon = \frac{1}{2}\frac{d^2u}{dx^2}\Delta x = O(\Delta x)$$
  
  

• 2次の精度
  
  $$\frac{du}{dx} = \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\Delta x}$$
  
  

• 4次の精度
  
  $$\frac{du}{dx} = \frac{4}{3}\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\Delta x} -\frac{1}{3}\frac{u_{i+2}-u_{i-2}}{4\Delta x}$$
  
  

当然のことながら、正確度の高いスキームほど誤差は小さくなる。 したがって原理的にはできるだけ正確度の高いスキームを使った方がよい。 しかし実際は境界条件や計算量などの問題があり、4 次より高次のスキームは 通常用いられることはない。