リープフロッグ法とタイムフィルター

予報方程式

$$\frac{\partial F}{\partial t}=i\omega F(x)$$

を時間に関して

$$\frac{F(t+1)-F(t-1)}{2}=i\omega F(x,t)$$

と差分化することをリープフロッグ法という。 リープフロッグ法で生じる高周波モードを押えるために、 Asselin (1972) [16] の タイムフィルターが使われる。

$$\overline{F(t)}=F(t)+0.5\nu\left[\overline{F(t-1)}-2F(t)+F(t+1)\right]$$

ここで $\overline{F(t)}$ は $F(t)$ にフィルターがかかった値を示す。 $\nu$ はフィルターパラメータである。 リープフロッグ・スキームで $\nu$ によらず同じ周波数帯を表現するためには、 $\nu$ を大きくするほど $\Delta t$ を小さくしなければならないことに注意。

図 9: 周波数に対する振幅

振動型方程式に leap-frog, asselin filter を適用して von Neumann 法により 振幅を調べた図(太実線)。filter 係数 $\nu$ を大きくするほど $\Delta t$ を 小さくし、安定して表現できる周波数帯を確保している。

第一ステップの時間積分にはオイラー・スキームを採用する。 はじめの数ステップの時間積分は次のように進めている。 (全球モデルの場合。領域モデルは定かではない。）

ステップ	時間間隔	スキーム	タイムフィルター
1	$\Delta t/4$	オイラー	なし
2	$\Delta t/4$	リープフロッグ	なし
3	$\Delta t/2$	リープフロッグ	なし
4	$\Delta t$	リープフロッグ	あり
..	..	..	..

図 10: 時間積分の進め方