プリミティブ方程式

プリミティブ方程式の基本的な解説は萬納寺(1994) [11]、 プリミティブ方程式に至る歴史や分散性は岸保(1978) [4]、増田(1981) [10]を参照。 鉛直に静力学平衡を仮定し、一般流で伝搬する波(ロスビー波)と 東西に伝搬する内部重力波を含んでいる ¹。 音波は除去されている。

図 1: 大気中に存在する各種波動。松野・島崎(1981) [12]より

直交直線座標系 $(x,y,z)$ における方程式は

1. 水平方向の運動方程式
   
   

   $$\frac{d\vec{u}}{dt} = -2\vec{\Omega} \times \vec{u} -\frac{1}{\rho}\vec{\nabla} p + \vec{F_u}$$

   
   

2. 鉛直方向の運動方程式(静力学平衡)
   
   

   $$0=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g$$

   
   

3. 連続の式、質量保存の式
   
   $$\frac{d\rho}{dt} = -\rho \vec{\nabla} \cdot \vec{u}$$
   
   

4. 熱力学方程式
   
   

   $$\frac{d\theta}{dt} = F_\theta$$

   
   

   場合によって $T$ , $T_v$ やエントロピー $S$ などを使う。
5. 水蒸気
   
   

   $$\frac{dq}{dt} = F_q$$

   
   

6. 状態方程式
   
   $$p = \rho RT$$
   
   

ここで

$$\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}+ u\frac{\partia... ...}+v\frac{\partial}{\partial y} +w\frac{\partial}{\partial z}$$

である。 水平方向の速度、温度、水蒸気、地上気圧(または密度)が予報変数で、 その他の式は診断的に求めるのに用いられる。 GSM ではスペクトル法で極で連続な物理量を球関数展開するために、 運動方程式を渦度($\zeta$)・発散($D$)に関する方程式に変換する。 例えば、小倉 (1978) [1] 参照。

$$\zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\part... ...D=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}$$

メソスケール・モデルでは、水蒸気の状態をより精密に表現することが必要である。 究極的には水蒸気を雲粒、雨滴、氷晶、雪片、あられ、ひょう、、、などと細分し、 それぞれの予報方程式(移流と相変化)をたてて「予報変数化」すること (Micro Physics) が必要になるであろう。もちろん計算量は多くなってしまう。