座標系変換

球面上の方程式を導出するために、 直交直線座標系 から 一般直交曲線座標系 へ変換することを考える。 松村(1992) [13] は3次元の単位ベクトルの変換則から出発している。 テンソル解析を用いるとより一般的で厳密である。 気象計算では例えば、郷田・栗原(1991) [5]、吉崎(1988) [14]。 しかし通常は微分演算子の変換則(Chain Rule)で機械的に置き換える ことで十分である。 ここでは、松村(1992) [13] より一般直交曲線座標系(モデルの座標系)での公式を 列挙する。 単位ベクトルが $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$、 座標系が

$$\vec{x}=\zeta_1 \vec{e_1} +\zeta_2 \vec{e_2} + \zeta_3 \vec{e_3}$$

で与えられる時、線分素片は

$$\vec{ds}=ds_1 \vec{e_1} + ds_2 \vec{e_2} + ds_3 \vec{e_3}$$

$$ds_1=g_1d\zeta_1,\hspace{5mm} ds_2=g_2d\zeta_2,\hspace{5mm} ds_3=g_3d\zeta_3$$

メトリック係数は、直交直線座標系での座標を $(x,y,z)$ として

$$g_1=\sqrt{\left( \frac{\partial x}{\partial \zeta_1} \right... ...ht)^2 +\left( \frac{\partial z}{\partial \zeta_1} \right)^2}$$

$$g_2=\sqrt{\left( \frac{\partial x}{\partial \zeta_2} \right... ...ht)^2 +\left( \frac{\partial z}{\partial \zeta_2} \right)^2}$$

$$g_3=\sqrt{\left( \frac{\partial x}{\partial \zeta_3} \right... ...ht)^2 +\left( \frac{\partial z}{\partial \zeta_3} \right)^2}$$

直交直線座標の単位ベクトルを

$$(\vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z})$$

とすると、一般直交曲線座標系(モデルの座標系) での単位ベクトルは

$$\vec{e_1}=\frac{1}{g_1}\left(\frac{\partial x}{\partial \ze... ...ec{e_y} +\frac{\partial z}{\partial \zeta_1}\vec{e_z}\right)$$

$$\vec{e_2}=\frac{1}{g_2}\left(\frac{\partial x}{\partial \ze... ...ec{e_y} +\frac{\partial z}{\partial \zeta_2}\vec{e_z}\right)$$

$$\vec{e_3}=\frac{1}{g_3}\left(\frac{\partial x}{\partial \ze... ...ec{e_y} +\frac{\partial z}{\partial \zeta_3}\vec{e_z}\right)$$

任意のベクトルを

$$\vec{A}=A_1\vec{e_1}+A_2\vec{e_2}+A_3\vec{e_3} =A_x\vec{e_x}+A_y\vec{e_y}+A_z\vec{e_z}$$

で与えられるとすると、ベクトルの各成分は

$$A_1=\frac{1}{g_1}\left(\frac{\partial x}{\partial \zeta_1}A... ...l \zeta_1}A_y +\frac{\partial z}{\partial \zeta_1}A_z\right)$$

$$A_2=\frac{1}{g_2}\left(\frac{\partial x}{\partial \zeta_2}A... ...l \zeta_2}A_y +\frac{\partial z}{\partial \zeta_2}A_z\right)$$

$$A_3=\frac{1}{g_3}\left(\frac{\partial x}{\partial \zeta_3}A... ...l \zeta_3}A_y +\frac{\partial z}{\partial \zeta_3}A_z\right)$$

主なベクトル演算は

$$\nabla = \left[ \frac{1}{g_1}\frac{\partial}{\partial \zeta... ...frac{1}{g_3}\frac{\partial}{\partial \zeta_3}\right]\vec{e_3}$$

$$\nabla \vec{A} = \frac{1}{g_1 g_2 g_3}\left\{ \frac{\parti... ...1A_2) +\frac{\partial}{\partial \zeta_3}(g_1g_2A_3) \right\}$$

$$\Delta = \frac{1}{g_1g_2g_3}\left\{ \frac{\partial}{\parti... ..._1g_2}{g_3} \frac{\partial}{\partial \zeta_3}\right)\right\}$$

連続系のベクトル式を球座標系を用いることによって全球モデルの方程式系を、 投影面座標系を用いることによって領域モデルを表現する。 エネルギー論は省略する。